Feynmann's Integral Trickとかいうやつ

はじめに
- 導入
例
- 最初の例
- 次の例
おわりに
おまけ

はじめに

Wathematica アドベントカレンダー企画の一部です。

アドベントカレンダー、理系なのになんでクリスマス祝ってんの？とかいう自爆みたいなツイート流れてきて震えたことあります.だいばくはつ.

締め切りの10時間前に書き始めてます.

もう一個書きたいのあるので、かけたら書きます.

導入

変な積分を求めたいことってありますよね.

大学に入ると最初にその機会(?)が訪れるのは留数定理とかのところだと思いますが、それはみんな知ってると思うので、それ以外で求めたい.

あと,留数定理はlog入ってるとなんか扱いにくい気がするので、その代替を用意しましょう,というモチベーションもあります.

知識は微積分のやつがあれば大丈夫です.簡単な記事！

微分と積分を何の断りもなく入れ替えるので、注意してください.

(適当に優関数をとって正当化してください.)

例

最初の例

$\int_0^1\frac{x^2-1}{logx}dx$

を求めることを考えてみます.

まず,

$G(t)=\int_0^1\frac{x^t-1}{logx}dx$

とおきます.

つまり, $G(2)$ を求めればよいわけです.

ここで,

$G'(t)=\int_0^1\frac{\partial}{\partial t}(\frac{x^t-1}{logx})dx$

$=\int_0^1x^tdx$

$=\frac{1}{1+t}$

なので,

$G(2)=\int_0^2\frac{1}{1+t}=log3$

を得ます.

次の例

$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$

を求めることを考えてみます.

なんかいい感じに収束して、積分が簡単になるような関数を考えたいので,

$G(t)=\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-tx}dx$

と置きます.

$G'(t)=-\int_0^{\infty}e^{-tx}\sin xdx$

となるので,この右辺は普通に計算できて,

$G'(t)=-\int_0^{\infty}e^{-tx}\sin xdx$

$=-\frac{1}{1+t^2}$

となって,

$G(t)=-\rm{Arctan}(t)+C$

を得ます.

$t\rightarrow\infty$ として考えると, $C=\frac{\pi}{2}$ なので,

$G(0)=\frac{\pi}{2}$

を得ます.

おわりに

みじけ～～～～～～～～～～～～！！！！！！！

なんだこれ.

後でちゃんとしたの書きますよろしくお願いします

というかVSCodeに慣れてるとhatenaのTeX書きにくくてしょうがない.

次からPDFにします.

Feynmann's Integral Trick,なんか英語圏だと有名っぽいですね.

日本だとたぶん有名だけどあんまり名前が浸透してないっぽい.

ちなみに、Feynmannがこの手法を好んだだけで、別にLeibnizとかでもやってますよね.

これ.

おまけ

これ聞いてくれ　よろしく